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Una intervención para mejorar la comprensión de problemas matemáticos

Mercedes Rodríguez y Juana Domínguez han publicado un artículo titulado Dificultades del lenguaje que influyen en la resolución de problemas. Se trata de un trabajo que me ha interesado especialmente por dos motivos. El primero es porque describe y evalúa una intervención para mejorar la comprensión de problemas matemáticos y el segundo es porque una parte de esa intervención es el uso de actividades propuestas en el libro Comprender el lenguaje haciendo ejercicios.

El estudio de la intervención se realizó con dos grupos de 16 alumnos de 3º de primaria. El primer grupo realizó la intervención y el segundo sirvió como control, emparejando a cada alumno del primer grupo con otro del segundo grupo con un rendimiento similar. Según las medidas realizadas, las autoras observan que en el grupo que realizó la intervención disminuyeron las dificultades en la resolución de problemas matemáticos.

Fotografía de The Guardian

Fotografía de The Guardian

La intervención

Una parte del trabajo realizado tenía como objetivo desarrollar la comprensión del lenguaje. Para ello se utilizaron cuatro grupos de actividades:

  1. Actividades para trabajar analogías verbales. Completar oraciones, ordenamiento de frases, rehacer textos en torno a un significado, identificar errores en una oración, distinguir alternativas verdaderas y falsas.
  2. Actividades para adquirir un desarrollo léxico. Buscar palabras relacionadas, agrupar categorías, nombrar sinónimos y antónimos, sustituir palabras en una frase por su sinónimo, juegos de categorías, inventar oraciones a partir de unas palabras
    dadas…
  3. Actividades de lecturas activas y comprensivas. Se busca identificar la información absurda, explicar una información dada, identificar información relevante dela no relevante…
  4. Actividades de construcción de inferencias. Señalar inferencias correctas o incorrectas, deducir causalidad en un texto o consecuencias, completar secuencias de acontecimientos y juegos de exclusión de conceptos.

En estas se siguieron las propuestas de Comprender el lenguaje haciendo ejercicios

Otra parte se centra en la mejora de la competencia para resolver problemas y se desarrolla en cinco fases:

  1.  Completar problemas sin datos, problemas con algunos datos y la solución o con enunciados incompletos para completar a partir de la solución.
  2. Se les pide a los alumnos inventar preguntas. Se les dan problemas sin preguntas donde se les pide que inventen posibles preguntas a un enunciado dado.
  3. A partir de preguntas o soluciones dadas los alumnos tienen que inventar enunciados
  4. Deben inventar problemas, esto es, plantear problemas a partir de datos, preguntas o soluciones.
  5. Se les plantea resolver problemas bien con datos numéricos o sin ellos.

El artículo detalla más la intervención y aporta algunos ejemplos de actividades. Quien tenga interés por este programa puede hacerse una idea más clara de cómo se trabajaba leyendo el artículo completo.

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Estrategias para la comprensión de problemas matemáticos y memoria de trabajo

Me interesan muchísimo las investigaciones sobre cómo enseñar a los alumnos a comprender (y por tanto plantear la solución) de problemas matemáticos. En realidad, lo que me interesan son las posibles aplicaciones de estas investigaciones, ya que las dificultades para comprender problemas son bastante comunes.

Lee Swanson nos hace una propuesta de gran interés: que la eficacia de la enseñanza de estrategias para comprender problemas puede depender de la memoria de trabajo de los alumnos. La memoria de trabajo es un concepto muy importante en psicología, pero que apenas se emplea en educación. En esta entrada se puede ver una pequeña explicación de qué es esa memoria de trabajo, que yo suelo definir como la capacidad de retener información a corto plazo mientras la atención está pendiente de otra cosa.

La investigación de Swanson

El artículo de Swanson, publicado en agosto de 2015 se titula intervenciones en estrategias cognitivas que mejoran la resolución de problemas y la memoria de trabajo en alumnos con dificultades de aprendizaje de las matemáticas.

Este artículo describe una investigación realizada con 204 alumnos de 3º de primaria, con dificultades de aprendizaje de las matemáticas y sin ellas y con capacidad baja o normal de memoria de trabajo. Los alumnos fueron asignados a cuatro intervenciones: estrategias verbales, estrategias visuales, estrategias verbales y visuales y grupo de control.

Las estrategias

Los tres grupos experimentales recibieron 20 sesiones de media hora durante 8 semanas. Estas sesiones fueron realizadas en pequeños grupos de 4 o 5 alumnos y dirigidas por estudiantes de doctorado. Durante cada sesión los alumnos recibían un cuadernillo con las actividades a realizar. Las sesiones estaban estructuradas en cuatro fases:

  1. Calentamiento: ejercicios de encontrar el número que falta (_ + 1 = 6) y actividades sobre formas geométricas.
  2. Instrucción: se enseña o se recuerda una microestrategia.
  3. Práctica guiada: práctica con tres problemas acompañados por el tutor, que informa a los alumnos sobre cómo están utilizando las estrategias y sus pasos.
  4. Práctica independiente: trabajo con otros tres problemas sin la ayuda del tutor.

Los problemas para la práctica independiente incluían, progresivamente, más oraciones irrelevantes, pasando de una a cinco oraciones irrelevantes a lo largo del programa.

Las estrategias verbales fueron:

  • Encuentra y subraya la pregunta.
  • Rodea los números.
  • Señala con un rectángulo la palabra clave.
  • Tacha la información no necesaria.
  • Decide qué debes hacer (sumar, restar o ambos).
  • Resuelve el problema.

Estas estrategias iban acompañadas por indicaciones como “si tengo que averiguar el total hay que sumar”.

No me queda claro en qué consisten las estrategias visuales, incluso después de consultar otros artículos de Swanson sobre trabajos en los que también se emplearon. De alguna forma, el alumno tiene que completar un diagrama, y existen dos tipos de diagramas. En uno las partes forman un todo. Por ejemplo, hay dos cuadros (las partes) que desembocan en otro (el todo). Este diagrama permite que el alumno pueda calcular el todo a partir de las partes o el valor de una de las partes, conociendo las demás y el todo.

El segundo diagrama es de comparación y es el menos claro. En él hay dos cuadros, de distinto tamaño para colocar los números y, de alguna manera que no acabo de entender, hay que colocar otro número (la diferencia). Quizá es parezca al modelo que está sobre este párrafo, pero el autor no incluye ningún ejemplo. En fin, otro ejemplo de cómo los investigadores suelen publicar para otros investigadores, más interesados en la fiabilidad de las pruebas de evaluación y la corrección de los cálculos estadísticos que en la intervención que se investiga.

La combinación de estrategias verbales y visuales seguía el mismo procedimiento que las estrategias verbales, añadiendo un paso de confección del diagrama.

Por último, es necesario tener en cuenta que el grupo de control, que seguía el currículo ordinario también trabajaba con estas estrategias, incluidas en su programa de matemáticas, pero lo hacía de una forma menos sistemática y enfocada que los grupos experimentales.

Los resultados

Se encontraron tres resultados principales:

  1. La enseñanza de estrategias consiguió mejoras, pero esas mejoras dependían de la memoria de trabajo de los alumnos: los alumnos con baja capacidad de memoria de trabajo no se beneficiaron especialmente de la intervención.
  2. Algunas estrategias funcionaron mejor que otras, pero eso dependía del nivel de competencia matemática de los alumnos. Los alumnos con baja competencia matemática y memoria de trabajo normal obtuvieron mejores resultados que sus equivalentes del grupo de control cuando trabajaban con estrategias verbales. También se beneficiaron, en menor medida de la combinación de estrategias, pero no de las estrategias visuales. Los alumnos con rendimiento matemático y memoria de trabajo normales obtuvieron pequeñas mejoras con los tres tipos de estrategias, siendo mayores con las verbales y menores con las visuales.
  3. Los alumnos que recibieron el entrenamiento en estrategias mejoraron sus resultados en pruebas de memoria de trabajo.

 

 

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Mejorar la comprensión de problemas matemáticos

Hay áreas de la enseñanza en las que no tenemos mucha idea de qué hacer cuando van mal. Concretamente mis bestias negras son la ortografía y la comprensión de problemas. Hace tiempo que dejé de dar recomendaciones como “que lea más”, “que se fije”, “que haga tal o cual cuaderno de problemas”, u otras parecidas, al percibir su ineficacia. Por otra parte, como me gustan las cosas difíciles, tengo mucho interés en esos dos campos, especialmente en el de la comprensión de problemas ya que poco a poco los correctores ortográficos empiezan a ser de uso general e incluso en los colegios comienzan a dejar de ser vistos como el enemigo.

En 1999, Yan Ping Xin y Asha Jittendra publicaron un metanálisis sobre los efectos de distintas intervenciones para mejorar la resolución de problemas matemáticos en alumnos con dificultades (se puede ver un resumen aquí), y en 2012, Dake Zhang y Yan Ping Xin han publicado una segunda parte de ese estudio, revisando la investigación que se ha publicado desde el anterior.

El metanálisis de 1999

En esa revisión se localizaron 25 estudios con distintos diseños en los que habían participado alumnos con dificultades en la resolución de problemas, o en riesgo de padecerlas, por distintos motivos: baja capacidad intelectual, problemas emocionales y de comportamiento, dificultades de aprendizaje, o simplemente alumnos con bajos resultados que recibían refuerzo en Matemáticas.

Las intervenciones que recibían esos alumnos se clasificaron en cuatro tipos:

  1. Técnicas de representación: ayudas para representar las ideas de los problemas, como representaciones gráficas, esquemas, materiales manipulativos, o instrucción para la comprensión verbal.
  2. Entrenamiento en estrategias: enseñana explícita de procedimientos para facilitar la solución de los problemas, como autopreguntas, autorregulación, que pueden enseñarse de forma aislada o junto con otras técnicas como visualización, creación de hipótesis, o estimación de la respuesta.
  3. Enseñanza asistida por ordenador.
  4. Otros: programas en los que no se enseñan habilidades (práctica intensiva de problemas, uso de calculadora) o la instrucción no encaja en las categorías anteriores.

Los resultados de este metanálisis indican que:

  • Los programas de intervención producen efectos positivos en alumnos de Educación Primaria y etapas posteriores.
  • Los efectos se mantienen después de que haya concluido el programa.
  • Los programas de enseñanza asistida por ordenador produjeron los mayores efectos, seguidos por las técnicas de representación y por el entrenamiento en estrategias.
  • Los resultados son más claramente apreciables en problemas de un solo paso que en problemas complejos, que necesitan de varias operaciones.
  • Los programas del grupo “otros” no produjeron ningún efecto en el rendimiento de los alumnos.
  • La duración de la intervención parece tener relación con el efecto producido. Cuanto más larga, mejores resultados.
  • Se consiguieron mejores resultados en las intervenciones individuales que en las grupales.

Imagen de Wikimedia Commons

El metanálisis de 2012

En esta revisión se localizaron 39 estudios publicados entre la fecha del último incluido en el metanálisis anterior  y 2009. En esta ocasión, además del tipo de intervenciones, se analizaron otras variables como el movimiento de inclusión o la enseñanza con problemas de la vida real que promueve la enseñanza de competencias.

Inclusión

Las intervenciones realizadas en aulas inclusivas consigueron un tamaño del efecto (d =2,60) significativamente mayor que el de las intervenciones realizadas en aulas de educación especial (d = 1,35), y, lo que es más importante, las intervenciones beneficiaban tanto a los alumnos con dificultades de aprendizaje como a sus compañeros sin dificultades.

Tipo de intervención

A diferencia de lo que sucecía con el metanálisis de 1999, en esta ocasión los mejores resultados los obtenían las intervenciones basadas en la representación de la estructura de los problemas, en las que se enseña a los alumnos a comprender y representar el problema con diagramas, modelos o esquemas. A continuación, sin que hubiera una diferencia signficativa, se encontraban las intervenciones basadas en la enseñanza de estrategias, en las que se enseña a los alumnos una serie de pasos (por ejemplo “¿qué me preguntan?, ¿qué datos tengo?, ¿qué necesito saber?”) para resolver los problemas.

En último lugar se encontraban las intervenciones apoyadas en recursos tecnológicos, existiendo una diferencia significativa entre éstas y las intervenciones basadas en la representación de los problemas. Puede sorprender este resultado puesto que en el metanálisis de 199 la enseñanza asistida por ordenador tenía el mayor efecto de todos los métodos de instrucción. Hay que tener en cuenta que en este caso no se refiere exclusivamente a enseñanza asistida por ordenador, sino a cualquier forma de enseñanza que se complemente con recursos tecnológicos, que pueden ser el ordenador, dvds, calculadora,…

Enseñanza competencial

No se aprecian diferencias entre utilizar problemas tradicionales o problemas de la vida real: el tamaño del efecto era d = 1,80 en el primer caso y d= 1,81 en el segundo. No debe interpretarse literalmente lo de “problemas de la vida real”. Se dio ese nombre a las intervenciones que utilizaban problemas incompletos, problemas con información irrelevante, problemas construidos a partir de un gráficos, problemas complejos (que necesitan varios pasos de solución), problemas que necesitaban conocimientos previos para ser resueltos, o que requerían redondeo. Se consideraron problemas tradicionales los que no tenían ese contexto irregular.

También se comparó si era más beneficioso plantear la solución de los problemas de la forma tradicional, centrándose en las operaciones, o de una forma pre-algebráica, centrándose en las relaciones entre los datos. Para que se entienda mejor, si tenemos un problemas como “Emma tiene 3 libros. Emma y Luis juntos tienen 7 libros. ¿Cuántos libros tiene Luis?”, la forma tradicional nos dice que la solución se plantea como 7 – 3, y la forma pre-algebráica, que se plantea como 3 + ___ = 7, (que equivale a 3 + x = 7). La enseñanza tradicional produjo un tamaño del efecto mayor que la pre-algebráica, sin que la diferencia fuera significativa.

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