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Comprensión de problemas matemáticos para alumnado con dificultades de aprendizaje

Lo de los problemas de matemáticas es un toro muy bravo. En su resolución no solo intervienen la comprensión y el cálculo; también son importantes la forma de afrontar el problema, el razonamiento y el aprendizaje o habilidad para utilizar con facilidad algunos conceptos o conocimientos matemáticos.

Anteriormente, he tratado este tema varias veces en el blog:

En estas entradas se pueden encontrar algunas indicaciones sobre qué se podría hacer para mejorar la comprensión de problemas, por ejemplo:

  • Enseñanza asistida por ordenador, sin que se pueda especificar qué programas o formas de trabajo han mostrado ser eficaces.
  • Técnicas de representación: ayudas para representar las ideas de los problemas, como representaciones gráficas, esquemas, materiales manipulativos, o instrucción para la comprensión verbal.
  • Entrenamiento en estrategias: enseñanza explícita de procedimientos para facilitar la solución de los problemas, como autopreguntas, autorregulación, que pueden enseñarse de forma aislada o junto con otras técnicas como visualización, creación de hipótesis, o estimación de la respuesta.
  • Enseñanza basada en esquemas: una forma de trabajo en la que se identifica el tipo de problema, se representa mediante un diagrama y este se transforma en una expresión matemática.
  • Procedimientos para realizar los problemas: encontrar la pregunta, identificar los datos, señalar palabras clave, retirar información innecesaria, decidir una forma para resolverlo y llevarla a cabo.
  • Reescribir el problema con las propias palabras.

Un nuevo meta-análisis

Ahora vuelvo sobre este tema para comentar un meta-análisis de Amy E. Lein, Asha K. Jittendra y Michael R. Harwell sobre la eficacia de las intervenciones para mejorar la resolución de problemas en alumnado con dificultades de aprendizaje.

Este trabajo revisó el resultado de 34 estudios con grupo de control, encontrando que las intervenciones tenían un efecto positivo y moderado (g = 0,56). En un cuadro sobre implicaciones educativas del meta-análisis, los autores indican que “las intervenciones más eficaces eran las que se centraban en la estructura del problema y buscaban directamente la enseñanza para la transferencia”. No nos va a servir de mucho como no seamos capaces de entender qué quiere decir esto.

La comparación entre distintas formas de intervención encuentra estos resultados: enseñanza basada en la ampliación y transferencia del esquema (g = 1,06), enseñanza basada en esquemas (g = 0,40), enseñanza de estrategias (g = 0,28) y otros (g = 0,11). La enseñanza basada en esquemas y la enseñanza basada en la ampliación y transferencia del esquema son intervenciones multicomponente, que incluyen una parte de enseñanza de estrategias pero que se centran en la estructura profunda del problema y utilizan otros componentes como modelos visuales o metacognición.

En estas intervenciones los alumnos aprenden a identificar el tipo de problema (el esquema) y lo representa utilizando diagramas. Durante la realización del problema, los alumnos siguen un procedimiento como:

  1. Establecer de qué tipo es el problema.
  2. Organizar la información del problema con un diagrama o ecuación.
  3. Realizar un plan para resolver el problema.
  4. Resolver el problema.

Según se va dominando esta forma de proceder, se van sustituyendo los diagramas por ecuaciones.

El componente de transferencia que incluyen algunos programas se refiere a una enseñanza explícita de característica que hacen que un problema parezca nuevo, aunque su estructura profunda siga siendo la misma y la forma de resolverlo sea conocida.

Otros datos que podemos obtener de este meta-análisis son:

  • Las intervenciones producen un efecto positivo tanto en alumnado con dificultades de aprendizaje de las matemáticas (discalculia), como con otras dificultades de aprendizaje.
  • Son más eficaces en el alumnado de Educación Primaria que en el alumnado de Educación Secundaria.
  • Los estudios publicados entre 2000 y 2009 produjeron mejores resultados que los publicados antes o después.
  • Los estudios que evaluaban con medidas creadas por los propios investigadores produjeron mejores resultados que los que evaluaban con pruebas estandarizadas.
  • Las intervenciones implantadas por investigadores produjeron efectos mayores que las implantadas por profesorado.
  • No se encontraron diferencias significativas respecto a el tamaño del grupo con el que se trabajaba, la duración de la intervención o el tipo de problemas).

En conclusión

Recapitulando la información anterior, para mejorar la habilidad de resolución de problema de alumnado con dificultades de aprendizaje parece recomendable enseñarles a identificar el tipo de problema. Algunos tipos habituales son: Total, Diferencia, Cambio, Grupos iguales, Comparación, Proporciones y ratios y Esquemas combinados.

Una vez identificado el tipo de problema, los datos relevantes se organizan en un esquema estándar y se soluciona el problema. De forma paralela, parece oportuno enseñar a reconocer el tipo de problema en una variedad de formulaciones. Por ejemplo:

Felipe tiene 12 canicas. Encontró algunas canicas y ahora tiene 15. ¿Cuántas canicas encontró?

Felipe tiene 12 años y Ana tiene 15. ¿Cuántos años tiene Ana más que Felipe?

Felipe tenía algunas canicas. Perdió 3 canicas y ahora tiene 12. ¿Cuántas canicas tenía?

Son, en realidad, el mismo tipo problema, con un esquema de Comienzo – Cambio (+/-) – Final: 12 +/-? = 15 para los dos primeros y ? +/-3 = 12 para el tercero.

Y un comentario

Aprender a reconocer esos tipos o estructuras de problemas no parece nada fácil, y enseñarlo menos. No obstante, el alumnado con dificultades en la resolución de problemas sí que suele formar sus hipótesis sobre qué tipo de problema está realizando, solo que los tipos que manejan están basados en las operaciones (problemas de sumar, restar, multiplicar o dividir). Para ellos puede ser muy atractiva la estrategia de la palabra clave, con la que esperan encontrar en el texto del problema una palabra o expresión que les informe de qué operación deben realizar. Sin embargo, en los problemas anteriores podemos percibir como el “encontró” y el “más” de los dos primeros problemas les hubieran llevado a sumar 12+15 y cómo el “perdió” del tercer problema les hubiera hecho restar 12-3. Quizá en problemas con estructuras de Total o Diferencia eso hubiera sido adecuado, pero no en estos tres ejemplos, que eran problemas de Cambio.

 

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Problemas de matemáticas: ¿típicos o “auténticos”?

Un empleado tiene que empaquetar 360 botellas en cajas. En cada caja tiene que haber 48 botellas. ¿Cuántas cajas completará y cuántas botellas sobrarán?

No es necesario ponerse a calcularlo, pero sí compararlo con este otro problema:

Los 360 alumnos de tu colegio vais a hacer un viaje el 15 de mayo. Tu tutor te ha pedido que le ayudes con el transporte, y cree que lo mejor sería que todos vayáis en autobús. Tú te encargarás de solicitar los autobuses a ‘Autocares Paco’. En la lista de personas que irán al viaje hay 360 nombres. En cada autobús pueden viajar 48 personas. Elabora la solicitud que enviarás a Autocares Paco.
Tampoco es necesario calcular el resultado. Seguramente se habrá percibido que, en el fondo se trata del mismo problema, un reparto de 360 elementos en grupos de 48 en el que es importante calcular el número de grupos y el resto o número de elementos que quedan sin formar un grupo completo.
Sin embargo, superficialmente, el segundo problema incluye información situacional que puede ser familiar para los alumnos. Santiago Vicente y Eva Manchado, de la Universidad de Salamanca, han publicado una investigación con bastante interés práctico en la que se hacen esta pregunta: ¿se resuelven mejor los problemas aritméticos verbales si se presentan como auténticos? (aunque el texto que se encuentra está en inglés, tras él está el mismo trabajo escrito en español).

La investigación

En el estudio participaron 156 alumnos de 4º, 5º y 6º curso de primaria. Los autores evaluaron el nivel de habilidad matemática (con las escalas de Problemas y Cálculo o Series numéricas del BADYG) y la comprensión lectora (con la prueba del test PROLEC-R). A partir de estos resultados seleccionaron subgrupos de alta y baja aptitud matemática y alta y baja comprensión lectora.
Los problemas utilizados eran todos problemas de cambio (que se resuelven mediante suma o resta) de dos operaciones. Por el tipo de planteamiento había problemas fáciles y difíciles. Estos problemas se presentaban en tres versiones:
  1. Típicos: contienen únicamente la información necesaria para obtener las respuesta.
  2. Auténticos: describen eventos cotidianos de la vida de los alumnos, emplean una pregunta esperable en esa situación, proporcionan información como la que se tendría en una situación real, la resolución tiene un propósito, la cantidades numéricas son adecuadas y se redactan en segunda persona.
  3. PISI: son problemas con información situacional irrelevante. Estos problemas contienen información descriptiva, pero la situación no es cercana, contienen preguntas que el alumno raramente se formularía, carecen de propósito y sus datos son desproporcionados.

Los resultados

Esta investigación no nos da un resultado claro y fácil de interpretar. Lo alumnos acertaron:

  • El 61,7% de los problemas auténticos.
  • El 56,6% de los problemas típicos.
  • El 49,5% de los PISI.

La diferencia entre los PISI y los otros dos tipos fue estadísticamente significativa, pero no la diferencia entre problemas típicos y auténticos.

No se encontraron diferencias entre las distintas versiones de los problemas fáciles, pero en los problemas difíciles, las versiones auténticas fueron resueltas mejor que las versiones típicas. Esta pauta se repetía, con ligeras diferencias, al analizar los resultados de los alumnos con alta y con baja aptitud matemática: los dos grupos resolvían mejor los problemas difíciles cuando eran presentados en una versión auténtica.

Los alumnos con resultados altos en la prueba de comprensión lectora resolvieron mejor los problemas fáciles cuando eran presentados en su versión típica, mientras que en los problemas difíciles les benefició la presentación como problemas auténticos. En cambio, en los alumnos con bajos resultados en comprensión los resultados fueron similares, pero las diferencias no llegaban a ser significativas. Aunque los autores apenas lo comentan, resulta llamativo el bajo resultado que obtienen los alumnos con baja comprensión en los PISI difíciles: resolvieron correctamente un 7,14%, mientras que solucionaron un 19,05% de los típicos o un 21,43% de los problemas auténticos con un nivel de dificultad similar.

 

 

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