Más sobre la comprensión de problemas de matemáticas

Como orientador de un colegio de Educación Primaria, la mayor parte de las consultas que tengo por dificultades de comprensión lectora están relacionadas con los problemas matemáticos. Es cierto que hay alumnos con bastantes dificultades para comprender otros tipos de textos, pero esos también suelen tener dificultades con los problemas de matemáticas.

Hace poco publiqué información sobre dos revisiones acerca de cómo mejorar la comprensión de problemas matemáticos, que cómo suele suceder en este tipo de publicaciones, dan una información muy interesante sobre qué se debe hacer, pero no dicen gran cosa acerca de cómo se debe hacer. Tengo ahora un artículo en el que colaboraron los autores de aquellas revisiones que puede aclarar un poco más acerca de cómo hacer las cosas.

El artículo

Yan Xing Pin (de su web en Purdue University)

El artículo que comento se titula Effects of Mathematical word problem-solving instruction on middle school students with learning problems. Está escrito por Yan Ping Xin, Asha Jittendra y Andria Deatline-Buchman. Básicamente describe una comparación sobre el efecto de la enseñanza basada en esquemas y de la enseñanza de estrategias generales en la resolución de problemas de 22 alumnos de enseñanzas medias (6º de Primaria a 2º de ESO) con dificultades de aprendizaje. La conclusión (por si alguien tiene prisa) es que los resultados obtenidos con la enseñanza basada en esquemas fueron mejores que los de la enseñanza de estrategias generales. Ahora comento en qué consisten estos enfoques y el de las palabras clave.

El insatisfactorio enfoque de las palabras clave

Esto lo explico yo con un ejemplo de algo que he oído muchas veces

El problema dice que Teresa tiene 12 años y que tiene 5 más que su hermano. Entonces el hermano tiene 17 porque el profesor me ha dicho que cuando aparece la palabra «más» en el problema quiere decir que hay que sumar.

En el enfoque de las palabras clave se enseña a los alumnos que «todo junto» significa que hay que sumar, «veces» remite a la multiplicación, o «queda» a la resta. El resultado es que el alumno suele interpretar las palabras clave de forma superficial y en lugar de interpretar el problema se pregunta si es de sumar, restar, multiplicar o dividir.

La enseñanza de estrategias generales

En la enseñanza de estrategias generales los alumnos aprenden a realizar la siguiente secuencia:

1. Leer el problema tratando de comprenderlo.
2. Hacer un plan para resolverlo.
3. Resolverlo.
4. Revisar y comprobar que la solución es adecuada.

Normalmente, para hacer el plan de solución el alumno se hace (y responde) preguntas como ¿qué información me dan? o ¿qué me piden? Se les enseña a buscar los datos y a contar el problema con sus propias palabras, incluso a hacer dibujos que representen el problema.

La enseñanza basada en esquemas

Los pasos que se siguen para resolver problemas a partir de esquemas son:

1. Leer el problema tratando de comprenderlo.
2. Identificar el tipo de problema y usar un diagrama para representarlo.
3. Transformar el diagrama en una expresión matemática y utilizarla para resolver el problema.
4. Revisar y comprobar que la solución es adecuada.

Como se puede ver, la clave está en los pasos dos y tres: identificar el tipo de problema, construir el diagrama y transformarlo en una expresión matemática. La investigación que estoy comentando describe cómo se hace eso, pero solo para dos tipos de problemas, que fueron los que trabajaron los alumnos: problemas de comparación mediante la multiplicación (ratio) y problemas de proporcionalidad.

Algunas cosas interesantes de este método son las siguientes:

1. Los alumnos comienzan practicando con textos que parecen problemas pero en los que no es necesario averiguar nada: se proporcionan todos los datos. Solo cuando saben identificar qué tipo de relación tienen, cómo se representa en un diagrama y se traduce a una expresión matemática pasan a practicar con problemas en los que se omite uno de los datos, que es el que tienen que averiguar.
2. Los alumnos aprenden y tienen una tarjeta en la que se describen las características de cada tipo de problema. Se trata de unos elementos de la estructura profunda del texto que aparecen en todos los problemas de ese tipo. Por ejemplo en los problemas de comparación multiplicativa hay dos conjuntos con distinta identidad, y cada uno de ellos tiene una cantidad de elementos. Además, hay una relación de comparación entre los dos conjuntos, de manera que el segundo es una parte o un múltiplo del primero.
3. Los diagramas son muy sencillos. No se trata de dibujar lo que aparece en el problema, sino de colocar los elementos que aparecen en él y señalar la relación entre ellos.
4. Todos los problemas del mismo tipo siguen el mismo diagrama, de modo que una vez identificado el tipo se va identificando cada parte del diagrama se va sustituyendo por el elemento del problema que se refiere a ella.
5. La traducción a una expresión matemática también es igual para los problemas del mismo tipo. En ese caso la cantidad desconocida que el alumno tiene que averiguar se representa como un signo de interrogación (?), de modo que el alumno tiene algo similar a una ecuación que resolver.

He encontrado una presentación de Xin en la que describe una intervención para enseñar a resolver problemas de cambio y de comparación (los que se comienzan a trabajar en los primeros cursos de Primaria): Using schema-based instruction to improve students’ learning of mathematical word problems. Un documento recomendable por los ejemplos de los materiales utilizados para la intervención.

En esta otra presentación (Teaching ratio and proportion problem using schema-based instruction) se describe cómo se han trabajado los problemas de ratio y proporcionalidad.